Das Halteproblem

Das Halteproblem, beschreibt die Tatsache, dass es kein Programm geben kann, das für ein anderes Programm entscheiden kann, ob dieses hält oder nicht. Endlosschleifen lassen sich für den allgemeinen Fall also nicht durch einen einfachen (oder auch komplizierten) Algorithmus ausfindig machen. Dass noch nicht einmal Namen, die man für Aufrufe verfolgen könnte, notwendig für eine Endlosschleife sind, zeigt das folgende Beispiel.

    (λ () . (λ x. (x x)) (λ x. (x x)))

Einen anschaulichen Beweis für dieses Problem habe ich heute bei Structure & Interpretation of Computer Programs wiedergefunden, den ich kurz vorführen möchte.

Angenommen, es gäbe eine Funktion safe(f, a), die für eine Funktion f und ein Argument a, herausfindet, ob f(a) definiert ist oder nicht - ob ein die Funktion f berechnendes Programm also irgendwann zu einem Ergebnis kommt, oder ewig lange in einer Endlosschleife verharrt und damit kein Resultat liefert. Formal beschreiben wir die Funktion safe wie folgt.

              / tt    falls f(a)≠⊥
safe(f, a) = |
              \ ff    sonst

Die Annahme einer solchen Funktion führt jedoch zu einem Widerspruch, wenn wir folgende Funktion betrachten.

        / ⊥    falls safe(d, d)
d(x) = |
        \ 3    sonst

Doch wozu wertet nun d(d) aus? Dies hängt von safe und insbesondere von safe(d, d) ab. Wir schauen uns die beiden Fälle einfach mal an.

safe(d, d)=true
Dann gilt d(d)=⊥. safe würde jedoch nur true liefern, wenn d(d)≠⊥ gilt. Als kann nicht gelten safe(d, d)=true.

safe(d, d)=false
Dann jedoch gilt d(d)=3. safe kann jedoch nur false liefern, wenn gilt d(d)=⊥. Es kann also auch nicht gelten safe(d, d)=false.

In beiden Fällen haben wir einen Widerspruch produziert und können daher nur annehmen, dass eine gewünschte Funktion safe mit besagten Eigenschaften nicht existieren kann. Schade.