Da habe ich mir doch mal wieder ein paar Gedanken zu den guten alten Konzepten der Mengen gemacht und bin zu der Überzeugung gekommen, dass Mengen nicht nur durch ihre Aufzählung allein genügend charakterisiert sind. Vielmehr sollte es doch auch eine implizite Möglichkeit geben, Mengen zu beschreiben. Dies passiert eben ganz einfach durch die Verwendung von Funktionen. So lässt sich etwa die Menge {1, 2, 3} mit den Element 1, 2 und 3 ja auch durch eine Prädikatsfunktion wie folgt beschreiben.
/ tt falls x∈{1, 2, 3}
f x = |
\ ff sonst
Zunächst scheint es, als hätten wir die Aufzählung nur einfach wegabstrahiert. Jedoch kann die Aussage x∈{1, 2, 3} ebenso in eine äquivalente Form x=1 ∨ x=2 &or x=3 gebracht werden.
Schauen wir nun, was bei Negation dieser impliziten Charakterisierung passiert. Welche Menge beschreibt etwa die Funktion g x = ¬(f x)? Schauen wir einmal, welche Elemente alle darin enthalten sind.
g 1 = ¬(f 1) = ¬tt = ff
g f = ¬(f f) = ¬ff = tt
g g = ¬(f g) = ¬ff = tt
Interessanterweise enthält g also nicht nur alle natürlichen Zahlen außer der 1, 2 oder 3, sondern enthält auch alle Funktionen, insbesondere also auch f und sich selbst. Wir haben also mit g eine Menge beschrieben, die sich selbst enthält - und sich insbesondere echt enthält, also eine echte Teilmenge von sich selbst ist. Ein Widerspruch?
Sollte die Verwirrung noch nicht ausreichend sein, versuchen wir nun einmal eine Menge zu konstruieren, die sich selbst beschreibt - die also nicht nur eine (echte) Teilmenge von sich selbst ist, sondern sich selbst ist. Wir benötigen also eine Funktion, die, wenn auf sich selbst angewendet, tt als Ergebnis liefert, und ansonsten eben ff. Versuchen wir es also mit der folgenden Definition.
/ tt falls x = h
h x = |
\ ff sonst
Die Funktion scheint soweit zu funktionieren, erzeugt jedoch das neue Problem, etwas über die Vergleichbarkeit zweier Funktionen aussagen zu müssen. Im strengen Sinne sind zwei Funktionen genau dann gleich, wenn sie gleiche Urbild- und Bildmengen besitzen. Es spielt also keine Rolle, in welcher Art und Weise die Mengen zueinander erzeugt werden. Lediglich die Beschreibung des Verhältnisses der beiden Mengen ist entscheidend. Nicht jedoch die Berechnungsvorschrift. So sind inbesondere die folgenden Funktionen im Sinne dieses Verständnisses alle gleich:
m1 x = x + x
m2 x = 2 * x
m3 x = (x + x + x + x) / 4
Verträgt sich dies denn auch mit unserer Definition von h? Ich würde behaupten ja. Denn wenngleich ich eine scheinbar andere Funktion als Argument von h auf h anwenden würde, liefert h bei den entsprechenden Eingaben, das intendierte Verhalten. Insbesondere folgt damit aber auch, dass h bei syntaktisch unterschiedlichen Eingaben jeweils tt liefert, die Menge jedoch trotzdem nur eine Element (eben h) enthält.
Fazit: Wir haben es also geschafft, uns von einer expliziten Mengendarstellung hin zu einer impliziten Darstellung zu bewegen und können nun etwas beschreiben, dessen Beschreibung sich selbst enthält. Ob das nur gut geht?!
Wie ich gerade einem Artikel bei Spiegel Online» entnehmen durfte, ist das hoelzerne Zweigestirn der Wolfgangs (Wolgang Back» und Wolfgang Rudolph») zurueckgekehrt. Bekannt aus dem guten alten ueber viele Jahre gesendeten WDR-Computerclub», macht man sich nun daran, in Form eines Podcastes» die Welt zurueck zu erobern. CC-Zwei» nennt sich das neue audiophile Projekt um die beiden knuddeligen Senioren, die mein Herz sofort hoeher schlagen lassen, wenn sie ueber 486er und Disketten reden.
Unser aller Begründer der Unvllstndigkt hatte am 28. April sein 100 jähriges Jubiläum und ich habe es verpasst. Egal. Lieber zu spät als gar nicht gedenke ich hiermit feierlich einem der wohl größten mathematischen Verwirrer seiner Zeit: 
In einem 
in ein mehr oder minder anderes komplexes Dokument in HTML zu konvertieren. Schier unendlich hohe Hürden mussten gemeistert werden, ehe das Dokument so stand, wie es nun steht.
Um diesen Eintrag noch weiter begründen zu können, möchte ich auf eine meiner tollsten Entdeckungen in der Informatiklandschaft hinweisen: Scheme. Hierbei handelt es sich um eine Programmiersprache (genauer: einen Lisp-Dialekt), der mich in seiner Eleganz und Mächtigkeit, Probleme und deren Lösung zu beschreiben, schlichtweg umgehauen hat.
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